Kết quả dự kiến

Đạo hàm là một công cụ không thể thiếu của nhiều ngành khoa học kỹ thuật, nên có nhiều ứng dụng rất rộng rãi.

-        Ứng dụng cơ bản:

Phương trình tiếp tuyến của đường cong:

Như đã thấy trong phần mở đầu của đạo hàm.Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm x₀ có thể xác định được nhờ đạo hàm tại điểm đó.Cùng với cách viết phương trình đường thẳng đã biết. Ta viết được phương trình tiếp tuyến tại một điểm (x₀;y₀) cho trước.

    Tính vận tốc tức thời:

Ta đã biết vận tốc được tính bởi quãng đường đi được chia thời gian. Tuy nhiên, trên thực tế rất hiếm có chuyển động đều (đa số là chuyển động phức tạp, thay đổi vận tốc liên tục) và như thế ta rất khó xác định được vận tốc của vật tại một thời điểm bất kỳ. Thông thường, vật lý chọn mốc thời gian ban đầu (t₀) và quy định chiều dương để khảo sát chuyển động. Nếu quãng đường chuyển động của vật (s) (bằng cách nào đó) được xác định là một hàm số theo thời gian (t): s(t). Khi đó, nếu ta tính vận tốc trung bình của vật chuyển động từ thời điểm t₁ đến thời điểm t₂ thì:
Tương tự trường hợp tiếp tuyến, hãy tưởng tượng tình huống thời điểm t₂ cách t₁ rất gần, nói theo ngôn ngữ toán học là t₂ tiến tới t₁, ta sẽ xác định được vận tốc tại thời điểm t₁

Hãy quan sát kỹ biểu thức, ta dễ dàng nhận ra đó là đạo hàm của hàm s(t) tại t₁. Như vậy, thực chất vận tốc tức thời tại một thời điểm nào đó chính là đạo hàm của quãng đường tại thời điểm đó.Ngoài ra gia tốc là đạo hàm của vận tốc.

Ngoài ra:

Trong bài toán điện, sức điện động cảm ứng là đạo hàm của từ thông biến thiên.Trong tụ điện thì dòng điện là đạo hàm của điện áp. Trong cuộn cảm thì điện áp là đạo hàm của dòng điện.

Trong dao động điện từ thì cường độ dòng điện là đạo hàm của điện tích biến thiên theo thời gian.

Xác định các khoảng tăng giảm của đồ thị hàm số:

Trở lại bài toán xét tính biến thiên của hàm số. Có hai vấn đề khó khăn:

1.    Ta nhận thấy với những hàm số phức tạp, việc xác định tính biến thiên trên một khoảng nào đó sẽ là không đơn giản.

2.    Nâng cao hơn, nếu bài toán không cho sẵn các khoảng để xét mà yêu cầu xác định khoảng biến thiên thì càng khó khăn nhiều hơn.

Tuy nhiên, hãy xem lại biểu thức xác định tính biến thiên

A=

Nếu A 0 thì hàm số tăng trên khoảng đang xét và ngược lại. Tuy nhiên, ở đây ta quan tâm tới biểu thức A. Biểu thức A gợi ý một mối quan hệ với đạo hàm.

Nếu hàm số y=f(x) tăng trên khoảng đang xét và có đạo hàm trên đó thì đương nhiên đạo hàm là số dương và ngược lại.

- Ứng dụng gián tiếp:
Khảo sát hàm số nghĩa là ta phải tìm hiểu hết những đặc điểm của hàm số đó

1.    Tập xác định,

2.    Tính biến thiên (tăng giảm trong khoảng nào?),

3.    Các điểm đặc biệt trên đồ thị,

4.    Đặc điểm đặc trưng khác (nếu có),

5.    Hình dạng của đồ thị (vẽ đồ thị) của hàm số.

Việc lấy đạo hàm giúp ta

1.    Xác định tính chất biến thiên của hàm số,

2.    Khi lập bảng biến thiên sẽ hình dung được dạng đồ thị (hỗ trợ vẽ đồ thị),

3.    Những điểm phân cách các nhánh tăng giảm của đồ thị hàm số (ta gọi là cực trị).

Như vậy, chỉ cần lấy đạo hàm và xét dấu, ta có thể xác định được hình dạng của đồ thị và một số điểm đặc biệt của đồ thị.khảo sát hàm số:

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất:

Dựa vào khảo sát hàm số, ta xác định được các cực trị. Từ đó suy ra được các giá trị lớn nhất nhỏ nhất (Không phải lúc nào cũng áp dụng được).

Tìm dạng hình tối ưu:

Đây là một dạng khó và có nhiều thách thức nhưng cũng có ứng dụng thực tế.
Phương pháp Newton giải phương trình:

Nội dung này rất có ứng dụng thực tế. Không có một cách tổng quát để giải phương trình bất kỳ. Do đó, một phương án hiệu quả để máy tính xử lý ra nghiệm là rất cần thiết.

Ý tưởng chính của phương pháp này là xây dựng các tiếp tuyến liên tục sao cho giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành càng lúc càng gần giao điểm của đường cong với trục hoành (tức là ta giải được nghiệm gần đúng của phương trình hoành độ giao điểm của đường cong với trục hoành. Cách thức tiến hành như sau (đối với phương trình f(x)=0):

• Chọn x₀,
• Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ bằng x₀,
• Lấy hoành độ giao điểm x₁ của tiếp tuyến với trục hoành,
• Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ bằng x₁,
• Lấy hoành độ giao điểm x₂ của tiếp tuyến với trục hoành,
• Tiếp tục quá trình trên cho đến khi f(x_n) tiến về 0.

Trong các môn học khác:

-        Về vật lý điện tử:

Nếu ta xem Q(t) là một hàm số biểu diễn điện tích có trong 1 đoạn dây dẫn ở một thời điểm t, thì đạo hàm Q'(t) sẽ cho ta cường độ dòng điện chạy qua đoạn dây đó.

Dễ thấy, khi xét khoảng thời gian giữa hai thời điểm t₁, t₂ bất kì, lựơng điện tích chạy qua tiết diện của đoạn dây là .

Khi đó, cường độ dòng điện trung bình (tức là, lựơng điện tích trên một đơn vị thời gian) trong khoảng thời gian này được định nghĩa như sau:

Cường độ dòng điện tức thời I(t) ở một thời điểm t₁ bất kì có thể được tính bởi giới hạn sau:

Ta có thể nhận ra, giới hạn trên chính là một dạng của công thức định nghĩa đạo hàm.

Do đó

-        Về vật lý cơ học:

Chúng ta đã biết, khối lượng riêng của một vật có thể được tính bằng công thức

Khi đó, khối lượng của vật được phân bố đồng đều trong vật thể hay nói cách khác, vật thể có có cấu tạo đồng nhất. Trong thực tế, khối lượng của vật phân bố khác nhau ở những vị trí khác nhau của vật, và công thức trên tồn tại dưới ý nghĩa trung bình.

Xét một hình trụ dài (đặc, thẳng và có tiết diện không đổi, như hình), trong đó 1 đầu được đánh vạch số 0, chiều dài phân vạch theo mét.

Giả sử hàm quy định khối lượng (theo kg) của phần thể tích từ vạch 0 tới vạch x.

Tổng khối lượng giữa vạch x và x₁ được tính bởi

Khi đó, khối lượng riêng trung bình phân bố trên đường thẳng (tức là, khối lượng trên đơn vị độ dài) giữa vạch x và x₁ được định nghĩa:

Nói cách khác, mật độ dài tại vạch  được định nghĩa là:

-        Ứng dụng của đạo hàm trong hoá học.

Xét một phương trình hoá hợp đơn giản sau:

Gọi  là nồng độ mol của chất sản phẩm (C), thì tốc độ phản ứng trung bình giữa hai thời điểm  và  là:

Vận tốc phản ứng tức thời tại mọt thời điểm bất kì được tính như sau:

.

-        Ứng dụng trong sinh học:

Xét một dân số N(t) tăng trưởng theo mô hình kiểu luỹ thừa sau t năm:

Với  là hàm luỹ thừa, là dân số ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng đặc trưng.

Dễ thấy, tỉ lệ tăng trưởng dân số tại một thời điểm t là tỉ lệ thuận với kích cỡ của dân số đó.

Ứng dụng của đạo hàm vào thực tế thì hầu như ngành nào cũng có.Từ khoa học tự nhiên, kĩ thuật, công nghệ, đến các bài toán trong các quá trình khoa học xã hội...

Ứng dụng của đạo hàm trong các ngành khoa học tự nhiên:

Trong ngành cơ học lưu chất thì lưu lượng là đạo hàm của khối lượng lưu chất.

 Đạo hàm cũng có thể được ứng dụng trong các bài toán cực trị trong kinh tế hay là các bài toán về tối ưu hóa trong kinh tế

Đạo hàm là một phép tính cơ bản tiền đề cho việc xây dựng toán  học cao cấp tiền đề cho những môn học như giải tích hàm,giải tích phức , phương trình vi phân đạo hàm riêng….