Đạo hàm là một công cụ không thể thiếu của nhiều
ngành khoa học kỹ thuật, nên có nhiều ứng dụng rất rộng rãi.
-
Ứng dụng cơ bản:
Phương
trình tiếp tuyến của đường cong:
Như đã thấy trong phần mở đầu của đạo hàm.Hệ số góc
của tiếp tuyến tại điểm x0 có thể xác định được nhờ đạo hàm tại
điểm đó.Cùng với cách viết phương trình đường thẳng
đã biết. Ta viết được phương trình tiếp tuyến tại một điểm (x0;y0)
cho trước.
Tính vận tốc tức thời:
Ta đã biết vận tốc được tính bởi quãng đường đi được
chia thời gian. Tuy nhiên, trên thực tế rất hiếm có chuyển động đều (đa số là
chuyển động phức tạp, thay đổi vận tốc liên tục) và như thế ta rất khó xác định
được vận tốc của vật tại một thời điểm bất kỳ. Thông thường, vật lý chọn mốc thời
gian ban đầu (t0) và quy định chiều dương để khảo sát chuyển
động. Nếu quãng đường chuyển động của vật (s) (bằng cách nào đó) được
xác định là một hàm số theo thời gian (t): s(t). Khi đó, nếu
ta tính vận tốc trung bình của vật chuyển động từ thời điểm t1
đến thời điểm t2 thì:
Tương tự trường hợp tiếp tuyến, hãy tưởng tượng tình huống thời điểm t2 cách t1 rất gần, nói theo ngôn ngữ toán học là t2 tiến tới t1, ta sẽ xác định được vận tốc tại thời điểm t1
Tương tự trường hợp tiếp tuyến, hãy tưởng tượng tình huống thời điểm t2 cách t1 rất gần, nói theo ngôn ngữ toán học là t2 tiến tới t1, ta sẽ xác định được vận tốc tại thời điểm t1
Hãy quan sát kỹ biểu thức, ta dễ dàng nhận ra đó là đạo hàm của hàm s(t) tại t1. Như vậy, thực chất vận tốc tức thời tại một thời điểm nào đó chính là đạo hàm của quãng đường tại thời điểm đó.Ngoài ra gia tốc là đạo hàm của vận tốc.
Ngoài ra:
Trong bài toán điện, sức điện động cảm ứng là đạo
hàm của từ thông biến thiên.Trong
tụ điện thì dòng điện là đạo hàm của điện áp. Trong cuộn cảm thì điện áp là đạo
hàm của dòng điện.
Trong dao động điện
từ thì cường độ dòng điện là đạo hàm của điện tích biến thiên theo thời gian.
Xác định các khoảng tăng giảm của đồ thị hàm số:
1.
Ta nhận thấy với những hàm số phức tạp,
việc xác định tính biến thiên trên một khoảng nào đó sẽ là không đơn giản.
2.
Nâng cao hơn, nếu bài toán không cho sẵn
các khoảng để xét mà yêu cầu xác định khoảng biến thiên thì càng khó khăn nhiều
hơn.
Tuy nhiên, hãy xem lại biểu thức xác định tính biến
thiên
A=
Nếu A
0 thì hàm số tăng trên khoảng đang xét và ngược lại. Tuy
nhiên, ở đây ta quan tâm tới biểu thức A. Biểu thức A gợi ý một mối
quan hệ với đạo hàm.
Nếu hàm số y=f(x) tăng trên khoảng
đang xét và có đạo hàm trên đó thì đương nhiên đạo hàm là số dương và ngược lại.
- Ứng dụng gián tiếp:
Khảo sát hàm số nghĩa là ta phải tìm hiểu hết những đặc điểm của hàm số đó
1.
Tập xác định,
2.
Tính biến thiên (tăng giảm trong khoảng
nào?),
3.
Các điểm đặc biệt trên đồ thị,
4.
Đặc điểm đặc trưng khác (nếu có),
5.
Hình dạng của đồ thị (vẽ đồ thị) của hàm
số.
Việc lấy đạo hàm giúp ta
1.
Xác định tính chất biến thiên của hàm số,
2.
Khi lập bảng biến thiên sẽ hình dung được
dạng đồ thị (hỗ trợ vẽ đồ thị),
3.
Những điểm phân cách các nhánh tăng giảm
của đồ thị hàm số (ta gọi là cực trị).
Như vậy, chỉ cần lấy đạo hàm và xét dấu, ta có thể
xác định được hình dạng của đồ thị và một số điểm đặc biệt của đồ thị.khảo sát
hàm số:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất:
Dựa vào khảo sát hàm số, ta xác định được các cực trị.
Từ đó suy ra được các giá trị lớn nhất nhỏ nhất (Không phải lúc nào cũng áp dụng
được).
Tìm dạng hình tối ưu:
Đây là một dạng khó và có nhiều thách thức nhưng
cũng có ứng dụng thực tế.
Phương pháp Newton giải phương trình:
Phương pháp Newton giải phương trình:
Nội dung này rất có ứng dụng thực tế. Không có một
cách tổng quát để giải phương trình bất kỳ. Do đó, một phương án hiệu quả để
máy tính xử lý ra nghiệm là rất cần thiết.
Ý tưởng chính của phương pháp này là xây dựng các tiếp
tuyến liên tục sao cho giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành càng lúc càng gần
giao điểm của đường cong với trục hoành (tức là ta giải được nghiệm gần đúng của
phương trình hoành độ giao điểm của đường cong với trục hoành. Cách thức tiến
hành như sau (đối với phương trình f(x)=0):
- Chọn x0,
- Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ bằng x0,
- Lấy hoành độ giao điểm x1 của tiếp tuyến với trục hoành,
- Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ bằng x1,
- Lấy hoành độ giao điểm x2 của tiếp tuyến với trục hoành,
- Tiếp tục quá trình trên cho đến khi f(xn) tiến về 0.
Trong các môn
học khác:
-
Về vật lý điện tử:
Nếu ta xem Q(t)
là một hàm số biểu diễn điện tích có trong 1 đoạn dây dẫn ở một
thời điểm t, thì đạo hàm Q'(t) sẽ cho ta cường độ dòng điện chạy qua
đoạn dây đó.
Dễ thấy, khi xét
khoảng thời gian giữa hai thời điểm t1, t2 bất kì,
lựơng điện tích chạy qua tiết diện của đoạn dây là
.
Khi đó, cường độ
dòng điện trung bình (tức là, lựơng điện tích trên một đơn vị thời
gian) trong khoảng thời gian này được định nghĩa như sau:
Cường độ dòng
điện tức thời I(t) ở một thời điểm t1 bất kì có thể được
tính bởi giới hạn sau:
Ta có thể nhận
ra, giới hạn trên chính là một dạng của công thức định nghĩa đạo
hàm.
Do đó
-
Về vật lý cơ học:
Chúng ta đã
biết, khối lượng riêng của một vật có thể được tính bằng công thức
Khi đó, khối lượng của vật được phân bố đồng đều trong vật thể hay nói cách khác, vật thể có có cấu tạo đồng nhất. Trong thực tế, khối lượng của vật phân bố khác nhau ở những vị trí khác nhau của vật, và công thức trên tồn tại dưới ý nghĩa trung bình.
Xét một hình trụ dài (đặc, thẳng và có tiết diện không đổi, như hình), trong đó 1 đầu được đánh vạch số 0, chiều dài phân vạch theo mét.
Giả sử hàm
quy định
khối lượng (theo kg) của phần thể tích từ vạch 0 tới vạch x.
Tổng khối lượng
giữa vạch x và x1 được tính bởi
Khi đó, khối
lượng riêng trung bình phân bố trên đường thẳng (tức là, khối lượng
trên đơn vị độ dài) giữa vạch x và x1 được định nghĩa:
Nói cách khác,
mật độ dài tại vạch
được định nghĩa là:
-
Ứng dụng của đạo hàm trong hoá học.
Xét một phương
trình hoá hợp đơn giản sau:
Gọi
là nồng độ mol của chất sản phẩm (C),
thì tốc độ phản ứng trung bình giữa hai thời điểm
và
là:
Vận tốc phản
ứng tức thời tại mọt thời điểm bất kì được tính như sau:
.
-
Ứng dụng trong sinh học:
Xét một dân số
N(t) tăng trưởng theo mô hình kiểu luỹ thừa sau t năm:
Với
là hàm luỹ thừa,
là dân số ban
đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng đặc trưng.
Dễ thấy, tỉ lệ
tăng trưởng dân số tại một thời điểm t
là tỉ lệ thuận
với kích cỡ của dân số đó.
Ứng dụng của đạo
hàm vào thực tế thì hầu như ngành nào cũng có.Từ khoa học tự nhiên, kĩ thuật,
công nghệ, đến các bài toán trong các quá trình khoa học xã hội...
Ứng dụng của đạo hàm trong các ngành khoa học tự
nhiên:
Đạo hàm cũng có thể được ứng dụng trong các
bài toán cực trị trong kinh tế hay là các bài toán về tối ưu hóa trong kinh tế
Đạo hàm là một
phép tính cơ bản tiền đề cho việc xây dựng toán
học cao cấp tiền đề cho những môn học như giải tích hàm,giải tích phức ,
phương trình vi phân đạo hàm riêng….